Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

Bài viết lí giải phương pháp ứng dụng tích phân nhằm tính diện tích hình phẳng giới hạn vì ba mặt đường cong, đấy là dạng tân oán hay chạm mặt vào công tác Giải tích 12 chương 3: Nguim hàm – Tích phân với Ứng dụng.

Bạn đang xem: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

I. PHƯƠNG PHÁPhường GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp đồ dùng thị.+ Chia diện tích hình phẳng thành tổng của những diện tích S hình phẳng giới hạn bởi vì hai vật dụng thị.Cách 2:+ Vẽ các đồ gia dụng thị bên trên cùng một hệ trục tọa độ.+ Từ đồ vật thị phân chia diện tích S hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai đồ thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAlấy một ví dụ 1: hotline $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi vì đồ vật thị tía hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch men chéo trong mẫu vẽ bên).

Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$

Lời giải:Từ đồ dùng thị ta có:

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do các mặt đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 left $ $ + int_frac32^2 left $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn giải đáp A.

ví dụ như 3: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những con đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 2x^2 – fracx^24 ight $ $ + int_3^6 frac54x – fracx^24 ight $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| _0^3 ight| + left| left. left( 54ln x – fracx^312 ight) ight ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn đáp án B.

lấy ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (do $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng đổi thay trên $R$ cùng $x=0$ là một trong những nghiệm của phương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 left $ $ + int_0^ln 3 3 – e^x ight .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 5: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vày những con đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2xsqrt x 3 – 2x + fracx^22 ight) ight ight|$ $ + left| _1^2 ight|$ $ = frac43.$Chọn câu trả lời A.

Xem thêm:

ví dụ như 6: Diện tích hình phẳng giới hạn vị parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ cùng các tiếp con đường của $(P)$ tại những giao điểm của $(P)$ với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết các tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Phương thơm trình hoành độ giao điểm của $(P)$ cùng với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, pmùi hương trình tiếp đường là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương thơm trình tiếp đường là: $y = 3x – 6.$Tìm những hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 left $ $ + int_frac12^2 x^2 – x – 2 – (3x – 6) ight .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn lời giải D.

ví dụ như 7: Hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng đồ gia dụng thị hàm số $y = 3x – x^2$ với $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ có diện tích là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn giải đáp D.

lấy ví dụ 8: hotline $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn do những con đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ với trục $Ox.$ Khẳng định như thế nào sau đó là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn giải đáp C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do nhánh đường cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, đường trực tiếp $y = 3 – 2x$ và trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những con đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ cùng trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn vị các mặt đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ với $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: điện thoại tư vấn $S$ là diện tích S hình phẳng giới hạn vày đồ dùng thị các hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ Khẳng định làm sao sau đấy là đúng?A. $S = int_0^3 x^2 – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$B. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 left .$C. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 left .$D. $S = int_0^3 x^2 – frac27x ight $ $ + int_3^9 dx .$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vày hai nhánh đường cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ cùng con đường trực tiếp $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁPhường ÁN

Câu	1	2	3	4	5
Đáp án	D	C	A	A	A

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 x^2 – 0 ight $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn đáp án D.

Câu 2: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn lời giải C.

Câu 3: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn câu trả lời A.

Câu 4: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 x^2 – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 left .$Chọn câu trả lời A.

Câu 5: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 4x^2 – x^2 ight $ $ + int_1^2 dx = frac83.$Chọn câu trả lời A.

Next Post Next post: Thể tích khối hận tròn luân phiên khi quay quanh Ox hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng một đường cong và trục hoành